Montrer que \(f^*\) est linéaire

$$\begin{align} f^*(a\alpha+b\beta)&=(a\alpha+b\beta)\circ f&&\quad\text{ avec }\quad \alpha,\beta\in F^*,a,b\in{\Bbb K}\\ &=a\alpha\circ f+b\beta\circ f\\ &=af^*(\alpha)+bf^*(\beta)\end{align}$$

Montrerqu'et si \(f:E\to F\) est un isomorphisme, alors \(f^*:E^*\to F^*\) est un isomorphisme
En déduire que \(A\) si est la matrice de \(f\) dans les bases \((e_i)^n_{i=1}\) et \(\varepsilon_{i=1}^m\) de \(E\) et de \(F\) respectivement, alors \(f^*\) possède la matrice \(A^T\) dans les bases duales

\(f\) isomorphisme \(\to\) envoie une base sur une base
Puisque \(f:E\to F\) est un isomorphisme, si on fixe une base \(\{e_i\}^n_{i=1}\) de \(E\), \(\{v_i=f(e_i)\}^n_{i=1}\) est également une base

Les \(f^*(v_i^*)\) constituent une base de \(E^*\) \(\to\) \(f^*\) envoie une base sur une base \(\to\) isomorphisme
On considère la base duale \(\{v_i^*\}^n_{i=1}\) de \(F^*\) et $$f^*(v_i^*)(e_j)\overset{\text{def}}=v_i^*(f(e_j))=v_i^*(v_j)=\delta_{ij}$$ donc \(\{f^*(v_i^*)=e_i^*\}\) est la base duale de \(E^*\) de \(E\)
D'où \(f^*:E^*\to F^*\) est un isomorphisme

Envoie dans les bases duales \(\to\) matrice transposée

De plus, la matrice de \(f^*\) dans les bases \(\{v_i^*\}_i\) et \(\{e_i^*\}_i\) est \(A^T\)
Où \(A\) est la matrice de \(f\) dans les bases duales

Montrer que $$\ker f^*=(\operatorname{Im} f)^o$$

$$\begin{align}\alpha\in\ker f^*&\iff f^*(\alpha)=0\\ &\iff\forall x\in E,\alpha(f(x))=0\\ &\iff\alpha\in (\operatorname{Im} f)^o\end{align}$$

Montrer que pour l'application transposée, $$(f\circ g)^*=g^*\circ f^*$$

On peut aussi passer aux matrices

$$\begin{align}(f\circ g)^*(\alpha)&=\alpha\circ (f\circ g)\\ &=\alpha(f(g))\\ &=f^*(\alpha)(g(x))\\ &=g^*(f^*(\alpha))(x)\\ &=(g^*\circ f^*)(\alpha)(x)\end{align}$$

Montrer que $$(f^*)^*=f$$

Via les matrices

Si \(A\) est la matrice de \(f\), alors \(A^T\) est celle de \(f^*\) (dans les bases duales)
Alors \((A^T)^T=A\) est la matrice de \(f^{**}\)
Dans les mêmes bases (en identifiant la base biduale avec l'initiale), on a la même matrice
Donc on a bien l'égalité cherchée

( et matrice associée)

Montrer que $$(f^{-1})^*=(f^*)^{-1}$$

$$\begin{align} (f^{-1})^*\circ f^*&=(f\circ f^{-1})^*\\ &=\operatorname{Id}^*\\ &=\operatorname{Id}\end{align}$$

([[]])

On considère \(u:{\Bbb R}_n[X]\to{\Bbb R}_n[X]\) donnée par \(u(P)=P^\prime\)
Calculer $$u^*(P\mapsto P(0))$$

$$\begin{align} u^*(P\mapsto P(0))&=u^*(\varphi)(P)\\ &=\varphi_1(P^\prime)\\ &=P^\prime(0)\end{align}$$

On considère \(u:{\Bbb R}_n[X]\to{\Bbb R}_n[X]\) donnée par \(u(P)=P^\prime\)
Calculer $$u^*\left( P\mapsto\int^1_0 P(t)\,dt\right)$$

$$\begin{align} u^*(\varphi)(P)&=\varphi(u(P))\\ &=\int^1_0P^\prime(t)\,dt\\ &=\varphi(P(1)-P(0))\end{align}$$